1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Abbildung 4: Carl Friedrich Gauß (1777-1855)
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) ist als ein großartiger Mathematiker bekannt geworden. In seiner Denkweise, die Geometrie betreffend, ging er einen wichtigen Schritt. Er akzeptierte die nichteuklidischen Geometrien als wahr. Es ging hierbei also um Geometrien, die die Negation des "Parallelenpostulats" implizierten und es somit als unbeweisbar geltend machten. Gauß jedoch war nur eine Figur des Übergangs, da er keine Bücher oder Abhandlungen über nichteuklidische Geometrien hinterließ. Er stand jedoch in Briefkontakt mit Leuten wie Bessel und Schumacher. In einem Brief an Bessel von 1829 schrieb er, dass er "das Geschrei des Böotier" fürchtete. Gauß ,hatte also eine eindeutige Position bezüglich des "Parallelenpostulats". In Gauß´ Tagebuchaufzeichnungen von 1817 macht er seinen Standpunkt wie folgt deutlich:
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"ICH KOMME MEHR ZU DER ÜBERZEUGUNG, DASS DIE NOTHWENDIGKEIT UNSERER GEOMETRIE NICHT BEWIESEN WERDEN KANN, WENIGSTENS NICHT VOM MENSCHLICHEN VERSTAND NOCH FÜR DEN MENSCHLICHEN VERSTAND. VIELLEICHT KOMMEN WIR IN EINEM ANDEREN LEBEN ZU ANDEREN EINSICHTEN IN DAS WESEN DES RAUMS, DIE UNS JETZT UNERREICHBAR SIND. BIS DAHIN MUß MAN DIE GEOMETRIE NICHT MIT DER ARITHMETIK, DIE REIN A PRIORI STEHT, SONDERN ETWA MIT DER MECHANIK IN GLEICHEN RANG SETZEN".
-----------------------------------------------------------------[Q11], Bd. VIII, S.177
Mit diesem Zitat wird deutlich, wie komplex das oben besprochene Problem für Gauß oder, besser gesagt, für die Mathematik war. Er hinterließ zwar keine mathematischen Abhandlungen, seine Denkweise war aber maßgeblich für die Entwicklung der Mathematik.
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