1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Abbildung 6: Abbildung7:
N.I. Lobatschewskij J. Bolyai
Nikolai Iwanowitsch Lobatschewskij (1793 – 1856) und Janos Bolyai (1802 – 1860) gelten beide als Begründer der nichteuklidischen Geometrie. Beide vertraten Gauß’ Meinung, sie versuchten jedoch, ihre Arbeiten zu publizieren. Wichtig ist, dass beide unabhängig von einander das entdeckten, was später bekannt wurde. In den Naturwissenschaften und in der Mathematik kommt es öfter vor, dass zwei Wissenschaftler etwas Gleiches zur selben Zeit entdecken. Das wohl bekannteste Beispiel hierfür ist das Periodensystem der Elemente, dass durch den Russen Dimitrij I. Mendelejew und den Deutschen Lothar Meier begründet worden war, und zwar auch ohne von den Arbeiten des Anderen zu wissen. Der Vater Bolyais riet seinem Sohn ab, sich mit dem Problem der Parallelentheorie zu beschäftigen. Er wusste genau, welche Probleme das mit sich bringen würde. Er drückte es als einen Kampf auf einem „unheimlichen Schlachtfeld“ aus. Bolyai schien jedoch die nichteuklidische Geometrie zu begreifen. Er veröffentlichte in einem Buch seines Vaters von 1832 eine kleinere Abhandlung über das „Parallelenpostulat“, die als Anhang keinen großen Erfolg fand. Deswegen blieb Bolyai auch ein ziemlich unbedeutender Mathematiker. Heute wird man Bolyai jedoch den notwendigen Respekt erweisen und seinen Namen nicht „unter den Teppich kehren“. Lobatschewskij hingegen machte seine Arbeit direkt öffentlich und den mutigen Schritt, sie selbst zu publizieren. Die mathematische Arbeit Lobatschewskijs wollen wir hier ein bisschen stärker durchleuchten. Er untersuchte den Fall, dass die Winkel im Saccheri – Viereck kleiner als 90° sind oder, anders gesagt, spitz sind. Zunächst mal untersuchte er alle Sätze der euklidischen Geometrie, die nicht auf dem „Parallelenpostulat“ beruhen. Schließlich formulierte es neu im folgenden Wortlaut:
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