1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Abbildung 5: Schleifende Geraden verschwinden im Unendlichen
Abbildung 6: Abbildung7:
N.I. Lobatschewskij J. Bolyai
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„BEZÜGLICH EINER GERADEN AB UND EINEM GEGEBENEN PUNKT R LASSEN SICH ALLE IN DER EBENE VERLAUFENDEN UND DURCH R GEHENDEN GERADEN IN ZWEI KLASSEN EINTEILEN: JENE GRADEN, DIE AB SCHNEIDEN, UND JENE, DIE AB NICHT SCHNEIDEN“.
------------------------------------------------------------------------[Q5], S.159
Damit stellt Lobatschewskij die Behauptung auf, dass Geraden, die im euklidischen Sinne nicht parallel sind, es doch sind. Aber welche Geraden sind jetzt parallel und welche nicht? Die Antwort ist im Saccheri – Viereck zu suchen. Wie schon erwähnt, ist Lobatschewskij der Überzeugung, dass die Theorie der spitzen Winkel zutreffend ist. Dem zu Folge ist jede Gerade, die AB im spitzen Winkel schneidet, zu AB parallel. Für den Fall, dass durch R eine Waagerechte verläuft, würde das „Parallelenpostulat“ nach Euklid wieder gelten. Eine eigentlich völlig fremde und nicht vorstellbare Theorie wurde hiermit in die Welt gesetzt. Sie widersprach aber Euklids Axiomensystem, da die Negation des „Parallelenpostulats“ Grundlage war. Euklids Axiomensystem enthält somit Widersprüche und kann damit verworfen werden. So gelang es Lobatschewskij , zahlreiche wichtige Sätze aufzustellen und zu beweisen, die aber der bisherigen Vorstellung widersprachen:
• die Winkelsumme im Dreieck ist kleiner als zwei rechte Winkel;
• zwei ähnliche Dreiecke sind kongruent.
Lobatschewskij veröffentliche im Jahre 1840 eine Abhandlung mit dem Titel „Geometrische Untersuchung zur Theorie der Parallellinien“, die allerdings nicht den gewünschten Erfolg hatte. Die Tatsache, von der er ausging, war noch zu umstritten und fremd. Gauß jedoch erkannte seine Leistung an. Lobatschewskij äußerte sich selbst dazu:
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„[…] DIE ERSTE VORAUSSETZUNG (IN ALLEN GERADLINIGEN DREIECKEN IST DIE SUMME DER WINKEL 180°, WG)DIENT ALS GRUNDLAGE DER GEWÖHNLICHEN GEOMETRIE UND DER EBENEN TRIGONOMETRIE. DIE ZWEITE VORAUSSETZUNG (WINKELSUMME < 180°, WG) KANN EBENFALLS ZUGELASSEN WERDEN, OHNE AUF IRGENDEINEN WIDERSPRUCH IN DEN RESULTATEN ZU FÜHREN UND BEGRÜNDET EINE NEUE GEOMETRISCHE LEHRE, WELCHER ICH DEN NAMEN: IMAGINÄRE GEOMETRIE GEGEBEN HABE, […]“.
-------------------------------------------------------------------------[Q12], S.73/74
Der Begriff der hyperbolischen Geometrie, wie sie heute treffend bezeichnet wird, kommt erst mit Felix Klein, der auch die Arbeiten Riemanns als elliptische Geometrie zusammenfasste. In den Abschnitten 2.3 und 2.4 wird darauf verstärkt eingegangen.
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