1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Felix Klein
Durch die nun entstandene Vielzahl an oben beschriebenen Geometrien und jenen, die hier noch nicht verarbeitet wurden, wie z.B. die projektive Geometrie , entstand ein ziemliches Durcheinander an Geometrien und Abhandlungen. Ab Mitte des 19. Jahrhunderts war die Entwicklung dieser Geometrien weitestgehend abgeschlossen. Es entstand eine gewisse Divergenz im Zusammenhang zwischen den einzelnen Geometrien, dem Verständnis für sie und der Methodik, sie anzuwenden. Gelöst wurden diese Probleme durch das Erlanger Programm. Es brachte die Systematisierung und Klassifizierung der Geometrie durch die Methode der Gruppentheorie. Proklamiert wurde es durch den Mathematiker Felix Klein (1849 - 1925), durch den auch die Namensgebung des Erlanger Programms wesentlich beeinflusst wurde, da er als Professor an der philosophischen Fakultät der Universität Erlangen arbeitete. Kleins Absicht war es, eine einheitliche Geometrie zu reproduzieren:
-------------------------------------------------------------------
"MEIN INTERESSE WAR ES SCHON VON MEINER BONNER ZEIT [�] AÜßERLICH EINANDER UNÄHNLICHER UND DOCH IN IHREM WESEN NACH VERWANDTER ARBEITSRICHTUNGEN ZU VERSTEHEN UND IHRE GEGENSÄTZE DURCH EINE EINHEITLICHE GESAMTAUFFASSUNG ZU UMSPANNEN. INNERHALB DER GEOMETRIE GAB ES IN DIESER HINSICHT NOCH VIEL FÜR MICH ZU TUN.".
-------------------------------------------------------------------[Q13], Bd.1, S.52
Ein Vorgänger Kleins war August Ferdinand Möbius (1790 - 1868), der bereits zu seiner Zeit die Eigenschaften der Geometrien untersuchte und versuchte sie gruppentheoretisch darzustellen. Klein nahm Möbius´ Arbeiten auf und strukturierte das Erlanger Programm mit seiner Hilfe. Er änderte den Begriff der Gruppe ab, da er vorher nur für die Zwecke der Permutation zu gebrauchen war. Jeder kleinere Abschnitt einer Geometrie wurde zu einer einzelnen Gruppe, so z.B. die Kongruenzabbildungen. Es musste jedoch jede Gruppe, koordiniert mit einer anderen, diese in sich enthalten. Daher bezeichnet man diese Gruppen als Transformationsgruppen. Ersetzt man nun eine Gruppe durch eine umfassendere Gruppe, bleibt ein Teil der geometrischen Eigenschaften erhalten. Gemäß diesem Prinzip schaffte es Klein, eine gewisse Ordnung in die Geometrie zu bringen. Abbildung 10 zeigt eine solche auf Gruppentheorie basierende Systematisierung der projektiven Geometrie.
Zur nächsten Seite Vorheriges Kapitel Nächstes Kapitel