1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Euklid von Alexandria
Obgleich dieses Axiomensystem die o.g. Voraussetzungen nicht erfüllt, so war es Euklid, der zuerst den bedeutenden Versuch machte, ein solches System zu postulieren. Sämtliche Kritik oder Verbesserungen wären also an dieser Stelle mit Sicherheit unangebracht. Dennoch ist es fehlerhaft. Widmen wir unsere Aufmerksamkeit erst einmal dem Aufbau. Zunächst teilt er seine geometrischen Grundaussagen in Kategorien auf:
- die Definitionen;
- die Axiome;
- die Postulate.
Jede von ihnen hat eine separate Bedeutung. Es gilt z.B. für Axiome und Postulate:
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"DIE GRENZE ZWISCHEN BEIDEN ARTEN VON GRUNDSÄTZEN FLIEßT; SCHON IM ALTERTUM HABEN UMSTELLUNGEN STATTGEFUNDEN. IN DER HAUPTSACHE IST EIN POSTULAT (AITEMA, FORDERUNG) EIN SPEZIELL GEOMETRISCHER GRUNDSATZ, DER DIE MÖGLICHKEIT EINER KONSTRUKTION, DIE EXISTENZ EINES GEBILDES SICHERSTELLEN SOLL: EIN AXIOM (FÜR WAHR GEHALTENES) � DER ÜBERLIEFERTE EUKLID-TEXT SELBST HAT DEN WENIGER GEBRÄUCHLICHEN AUSDRUCK KOINE ENNOIA (ALLGEMEIN EINGESEHENES) - IST EIN ALLGEMEIN LOGISCHER GRUNDSATZ, DEN KEIN VERNÜNFTIGER, AUCH WENN ER VON DER GEOMETRIE NICHTS WEIß, BESTREITET."
---------------------------------------------------------------[Q8], S.419 (Anmerkungen)
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