1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Abbildung 3: Das "Parallelenpostulat"
Nun zum Begriff des "Parallelenpostulats". Im vollständigen Wortlaut postuliert es,
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"DASS, WENN EINE GERADE LINIE BEIM SCHNITT MIT ZWEI GERADEN LINIEN BEWIRKT, DASS INNEN AUF DERSELBEN SEITE ENTSTEHENDE WINKEL ZUSAMMEN KLEINER ALS ZWEI RECHTE WERDEN, DANN DIE ZWEI GERADEN LINIEN BEI VERLÄNGERUNG INS UNENDLICHE SICH TREFFEN AUF DER SEITE, AUF DER DIE WINKEL LIEGEN, DIE ZUSAMMEN KLEINER ALS ZWEI RECHTE SIND.".
---------------------------------------------------------------------[Q8], S.3, Postulat 5
Im Gegensatz zu den Postulaten, die in den ELEMENTEN vorher erwähnt werden, ist jenes im Stil völlig anders. Die ersten drei fixieren die Konstruktionshilfsmittel auf Lineal und Zirkel. Sie sind relativ kurz. So auch das vierte Postulat, welches bestimmt, dass "ALLE RECHTEN WINKEL EINANDER GLEICH SIND" ([Q8], S.3, Postulat 4). Das fünfte allerdings ist in seinem Erscheinungsbild schon sehr lang und scheint auch im Wortlaut sehr komplex. Zu einer detaillierten Betrachtung dürfte eine Skizze des Inhalts hilfreich sein, die den Wortlaut verdeutlicht (siehe Abbildung 3). Bei der Betrachtung der Skizze und des Postulats fällt auf, dass beide nicht dasselbe Maß an Verständlichkeit und Anschaulichkeit besitzen. Mögliche einfachere Formulierungen wären:
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"DURCH EINEN GEGEBENEN PUNKT GIBT ES NUR GENAU EINE ZU EINER GEGEBENEN GERADEN PARALLELE GERADE.“ oder „ZWEI GERADEN IN DER EBENE, DIE GEGENEINANDER GENEIGT SIND, MÜSSEN SICH SCHLIEßLICH SCHNEIDEN.".
---------------------------------------------------------------------[Q17], S.198
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