1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Abbildung 8: Abbildung9:
B. Riemann Kugeloberfläche
Bernhard Riemann (1826 - 1866) füllt die Lücke der nichteuklidischen Geometrien. Seine Arbeiten lassen sich aus dem Saccheri - Viereck und dem "Parallelenpostulat" ableiten. Das Saccheri - Viereck betreffend nahm Euklid einen rechten Winkel an und Gauß, Bolyai und Lobatschewskij einen spitzen. Riemann nahm die noch übrige Möglichkeit des stumpfen Winkels, die das andere Negat zum "Parallelenpostulat" bildet. Weiterhin ging er weder von einer Parallelen aus, noch von unendlich vielen. Er nahm an, dass es keine gibt. Mit diesem Material entwickelte er eine Geometrie, die auf der Krümmung von Flächen aufbaut. Jedoch genügte es nicht, einfach das "Parallelenpostulat" wegzulassen oder es umzuformulieren, da bereits die Inzidenz-, Anordnungs- und Kongruenzaxiome der euklidischen Geometrie die Existenz mind. einer nichtschneidenden Geraden sichern. Sollen also zwei Geraden immer einen gemeinsamen Punkt haben, wie es das "Parallelenpostulat" fordert, müssen bereits diese Axiomengruppen angepasst werden. Die sphärische Geometrie impliziert ein Modell der elliptischen Geometrie. Als elliptische Ebene versteht man eine Kugeloberfläche, wobei die Geraden die Großkreise der Kugel sind. Zwei dieser Geraden haben nun immer einen gemeinsamen Punkt, wobei dieser Punkt sich aus zwei, sich diametral gegenüberliegenden, Kugelpunkten zusammensetzt. Die Punkte (N,S) und (M,T) bestimmen genau eine Gerade, nämlich (N M S T). Man kann nun von (N,S) unendlich viele Lote nach (M O T P) fällen. Die Entfernung zweier Punkte der elliptischen Geometrie ist also in diesem Falle der kleinere Bogen des Großkreises, der zwischen ihnen liegt, so ist der größtmögliche Abstand. Das ist zutreffend, denn laut Hypothese des stumpfen Winkels ist die Innenwinkelsumme eines Dreiecks der elliptischen Geometrie größer als zwei rechte, also 180°. Basierend darauf ließ sich eine Geometrie ohne Parallelen entwickeln. Riemann fasste dies in seinem Habilitationsvortrag von 1854 zusammen. Er trug den Titel: "Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen". Bei der euklidischen Geometrie gibt es so etwas wie Krümmung auf Flächen nicht. Gauß`, Bolyais und Lobatschewskijs Geometrie weißt eine konstante negative Krümmung auf Flächen auf...Die hyperbolische Geometrie reagierte auf Riemanns Arbeiten erst nach seinem Tod. Der Italiener Beltrami (1835 - 1900) zeigte um 1870 eine Fläche mit konstanter negativer Krümmung auf, bei der es trotzdem unendlich viele Parallelen gab.
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