1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Euklid von Alexandria
Die ersten vier Bücher der ELEMENTE beschäftigen sich mit elementarer Planimetrie. Buch I gibt zunächst die beweislos anzuerkennenden Grundsätze, die in der Einleitung schon erwähnt wurden, wieder. Sie bilden das Axiomensystem. Dann setzt Buch I fort, wie alle XIII Bücher: es werden mathematische Sätze genannt und bewiesen. In der modernen Mathematik bezeichnet man sie auch als Algorithmen. Die Beweise schließen mit "q.e.d." ab. Diese heute weit verbreitete Abkürzung steht für "QUOD ERAT DEMONSTRANDUM" (Euklid) und bedeutet: Was zu beweisen war. In Buch I beschränkt man sich auf die Kongruenzlehre (§ 1 - 26), die Parallelentheorie (§ 27 - 32), die Hauptsätze über das Parallelogramm und die Lehre von der Flächengleichheit (§ 33 - 48). Über das Axiomensystem wird in Kapitel 3.2.2 berichtet, wo auch spezifisch klar wird, welche Bedeutung die Begriffe Definition, Axiom und Postulat hier haben sollen. In Buch I haben Sätze, wie z.B. der allgemein bekannte Satz des Pythagoras (§47) oder die Strahlensätze, ihr zu Hause. Weiterhin geht es hierbei um die elementaren Eigenschaften des Dreiecks, wie die Kongruenz zweier Dreiecke oder einfache Konstruktionsanweisungen, wie sie z.B. beim Halbieren einer Strecke (§ 10) oder eines Winkels (§ 9) erforderlich sind. Buch II legt Grundlagen für das, was man später als geometrische Algebra bezeichnet, die ihrerseits auf die Pythagoreer zurückgeht. Es werden also geometrisch allgemeine Größenbeziehungen gelehrt, wie wir sie durch Formeln der Buchstabenrechnung auszudrücken pflegen. Beispielsweise ist das Produkt zweier Zahlen a und b nichts anderes als die Fläche eines Rechtecks mit den Seiten a und b. Buch III lehrt die vollständige Geometrie des Kreises. Zu sagen ist allerdings, dass einige Eigenschaften des Kreises schon in Buch I verwandt wurden. Buch IV hingegen widmet sich der einem Kreis in- und umbeschriebenen regulären Polygone (Vielecke).
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