1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Euklid von Alexandria
Die Qualität eines Axiomensystems zu beurteilen, ist nicht einfach. Man prüft heute, ob das System die folgenden Bedingungen erfüllt:
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- Widerspruchsfreiheit; es darf nicht möglich sein, durch deduktives Schließen aus den
Axiomen das Negat eines der Axiome oder einen Satz und seine Negation herzuleiten.
- Vollständigkeit; ein Axiomensystem ist vollständig, wenn aus ihm alle Sätze der
Disziplin hergeleitet werden können.
- Unabhängigkeit; es darf keine Aussage als Axiom aufgenommen werden, die aus den übrigen Axiomen herleitbar ist.
-----------------------------------------------------------------------------[Q6], S.50
Normalerweise zählt man noch eine vierte Forderung hinzu, nämlich die der Kategorizität. Sie ist aber für unsere Zwecke uninteressant und muss deshalb hier nicht definiert werden. All diese Forderungen muss ein Axiomensystem erfüllen. Wie sich noch heraus- stellen wird, ist das beim Euklidischen nicht der Fall. Allerdings kam es auch erst durch David Hilbert zur Einführung dieser Kriterien, so konnte Euklid sie natürlich nicht beachten. Der Nutzen der Axiomatisierung besteht vordergründig darin, eine einheitliche Erklärung für verschiedene Problemstellungen zu finden. Hierbei muss der axiomatische Inhalt durch eine offensichtliche Richtigkeit gerechtfertigt sein, so dass man ihn als unbeweisbar an- nehmen kann. Die Theoreme sind hierbei für den Leser nicht neu, aber kritisierbar.
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